Gradmålingen

Den ekspedition som det franske videnskabsakademi sendte til Torneå i 1735 havde til formål at måle længden af en breddegrad langs medianen. (I det følgende blot: længden af en breddegrad).

Hvad betyder længden af en breddegrad ? En breddeparallel er en lillecirkel, på jordoverfladen, der er parallel med ækvator. Breddegraden (den geografiske bredde) af et sted på jordoverfladen er bestemt ved den vinkel, som linjen gennem stedet og jordens centrum danner med ækvator. På figuren overfor er vist to breddegradsparalleller med en grads forskel. En storcirkel gennem polerne kaldes en længdegradscirkel eller en meridian. Meridianerne står altså vinkelret på breddeparallellerne.  Ved længden af en breddegrad forstås længden af det markerede stykke af meridianen.

Målingen af længden af en breddegrad ved polarcirklen krævede mange forskelligartede målinger og beregninger af ekspeditionens deltagere. Først skulle man finde to punkter hvis afstand langs en meridian var ca. en grad. Som det sydlige punkt valgte man klokketårnet i Torneå kirke og som det nordlige et højdedrag ved Kittis.  Mellem disse to punkter udlagde man otte stationer som alle lå på bjergtoppe langs Torneåfloden. Disse stationer udgjorde et trekantsnet hvor man fra alle punkter i nettet kunne se og sigte til alle nabopunkterne (se kortet overfor). I 1700-tallet var det uhyre vanskeligt og meget omkostnings fuldt at opmåle lange strækninger. Derimod rådede man over instrumenter der forholdsvis enkelt og præcist kunne måle vinkler. Man målte derfor kun en eneste linje i hele trekantsnettet. Linjen Bb, som kaldes basislinjen blev omhyggeligt målt med målestok.

Derimod målte man vinklerne i alle trekanterne. Ud fra basislinjens længde og vinklerne kunne man ved trigonometriske beregninger (svarende til sinusrelationerne) en efter en beregne alle siderne i trekantsnettet. Først siderne i den trekant BbA, der støder op til basislinjen, derefter siderne i den næste trekant ABC, osv.

Som det fremgår af kortet ovenfor ligger linjen mellem endepunkterne Torneå Kirke og Kittisvaara ikke helt på en meridian. For at kunne beregne afstanden  mellem de to endepunkter langs meridianen måtte man først beregne længden af trekantslinjernes projektion ind på meridianen.

Forskellen i breddegrad mellem de to yderpunkter i nettet var ca. en grad. Den nøjagtige forskel målte man ved at bestemme stjernen Dragon vinkel med zenit i de to endepunkter.

Endelig målte man også breddegraden ved Torneå ved at måle polarstjernens vinkel.

I de følgende afsnit omtales og uddybes alle de beregninger og målinger der er omtalt ovenfor:

1. Trekantsnettet fra Torneå til Kittisvaara.

Den sydligste station var klokkespiret ved Torneå Kirke og den nordligste var ved et højdedrag ved Kittisvaara. Mellem disse to yderpunkter blev udlagt otte andre  stationer:        

Niwa, Kakama, Cuitaperi, Avafaxa, Pullingi, Kittis, Niemi og Horrilakero. (se mere om stationerne i rejsen til Torneå)    Alle stationer blev lagt på højdedrag. Selve stationerne blev   bygget op af afbarkede træstammer som blev sat op i en pyramideform med en flad top. Stationerne kunne således bruges både til at sigte mod fra de fra nærmeste stationer og som platform for måleinstrumentet, når man skulle tage sigte til nabostationerne. Fra hver station måltes vinklerne til alle de nærmeste stationer med en kvadrant med to fods radius og forsynet med et micrometer (se billedet overfor).  Med en kvadrant måler man skrå vinkler (i luftlinjen) mellem to punkter. Det var derfor nødvendigt også at måle højdeforskellen mellem stationerne og korrigere de målte vinkler til horisontale vinkler.   Se eksempel på hvordan man beregner en vinkels reduktion til horisonten.

Målingerne af vinklerne blev foretaget i hold, hvor hver på holdet foretog individuelle målinger af den samme vinkel. Den endelige vinkel var middelværdien af de individuelle målinger, som ikke afveg væsentligt fra hinanden.
De målte vinkler ses i nedenstående tabel ( se La Figure de la terre side 137):

2. Opmåling af basislinjen fra Luppio til Polkitorni.

Basislinjen fra Luppio (B) til Polkitorni (b), strakte sig over floden ved Torneå. Dette sted var valgt fordi man her kunne måle afstanden over isen, hvilket var meget lettere end i et kuperet område på land.
Basislinjen blev målt med otte granstænger af 30 fods (pied) længde. Længden af stængerne blev omhyggeligt kontrolleret. Fra Paris havde man medbragt en jernstang på 1 toise (ca.1.99 meter). Ved hjælp af den lavede man en standard stang ved at slå to søm i væggen med netop 30 fods afstand. De otte granstænger blev justeret efter denne standardstang, i hver ende af de otte træstænger var et sømhoved som blev filet væk indtil stangen havde præcis samme længde som standardstangen.
Da man begyndte målingen lå der to fods dyb sne på isen. Træstængerne blev lagt på sneen i en bestemt rækkefølge. Under hele opmålingen satte man en pæl i isen for hver 100 toise, så man med en 50 toise lang snor hele tiden kunne kontrollere målingerne. Hele opmålingen af basislinjen tog ni dage fra 21. til 30. december.

I Outhiers dagbog (side 311) kan man læse om opmålingen af basislinjen :

December 1736 - opmålingen af basislinjen: Straks da vi ankom til den nordlige ende af vor base samledes vi for at begynde præcis i signalets centrum og gå ud på isen ved kysten i nogle få toises afstand fra signalet. Vi delte os i to hold, hver på fire målere. …. Vi var omhyggelige med af mærke vore stænger, så de hele tiden kom i samme orden, vi havde allerede målt 700 toises klokken halv to, da natten kom, vi vendte tilbage til M.Brunius hus. Den dag var ekstrem kold, Termometeret stod på 18⁰ under frysepunktet. Mens i var på basen drak M.le Monnier noget brandy af en sølnkop, hans tunge klistrede fast til koppen.
De to holds målinger viste næsten det samme, der var kun en forskel på 4 Pouc (ca.10 cm). Maupertuis mente at denne forskel stammede fra den sidste dag hvor man målte fra bredden op til signalet.

I La Figure de la terre (side 86) angives målingerne:
              Den første måling gav 7406 toise 5 pied 0 pouse
           Den anden måling 7406 toise 5 pied 4 pouse
Basislinjen bestemmes som middeltallet 7406 toise 5 pied 2 pouse.
          (1 toise = 6 pied og 1 pied = 12 pouse)
Da 1 pouse svarer til 0.0277 meter er at basislinjen er ca. 14.770 km.

3. Beregning af de to Trekanter som begynder alle rækkerne.

Efter at have udlagt og målt basislinjen fra Luppid til Polkitorni beregnede man først siderne i den  trekant ABC der stødte op til basislinjen.
(La Figure de la terre side 86):

*) Hvis vinkelsummen i trekanten ikke er 180 fordeles over/underskud på de tre vinkler, således at den største får mest og så vinklerne bliver runde tal.

Basislinjen blev målt til 7406 toise 5 pied 2 puose. Ud fra denne side og vinklerne i trekant AbB beregnede man siden AB. Videre ud frs siden Ab og vinklerne i trekant ABC beregnes distancen AC fra Avafaxa & Cuitaperi til 8659.94 toises. 
Eftersom de to trekanter er bestemt med stor nøjagtighed og da deres placering er favorabel til at bestemme denne distance præcis, kan man betragte AC som ny basislinje for de videre beregninger.

Se beregning af AC.

4. Beregninger i den første rækkes trekanter.

I trekantsnettet beregnes to rækker af trekantssider der går fra Kittis til Torneå.
Den første række går gennem QP, PA, AC, CT ( se figuren nedenfor).

I La Figure de la terre (side 139) kan ses beregning af vinklerne i de trekanter der indgår:

	Observerede vinkler, reduceret til horisont	Vinkler korrigeret ved beregning
	ACH
	CAH     1120  21´ 32´´9 ACH       30    56   53.4 AHC       36    42      3.1            180      0   29.4	1120  21´  17´´   30    56   47   36    45   56 180     0     0
	CHK
	CHK          36    4  54.7 CKH          43  45  35.6 KCH        100    9  56.8           180    0   27.1	36     4   46   43   45   26 100     9   48 180     0     0
	CKT
	KCT           37   9    2.0 CKT         118  28  12.0 CTK         24  22  54.3          180    0   18.3	37    9    7 118  28    3   24  22  50 180    0    0
	AHP
	AHP         94  53  49.7 HAP         53  45  56.7 APH          31  19  55.5          179  59  41.9	94  53 56  53  46   3   31  20   1 180   0   0
	HNP
	HNP          93  25    7.5 NHP          49  13    9.3 HPN          37  22    2.1         180    0  18.9	93  25   1  49  13   3   37  21 56 180    0   0
	NPQ
	NPQ        87  52  24.3 NQP        40   14  52.7 PNQ        51   53    4.3        180     0   21.3	87  52  17  40  14  46   51  12  57 180    0   0

 

Da AC = 8659.94 toises, som tidligere fundet, ved hjælp af de to trekanter ABb, ABC; finder man ved trigonometriske beregninger i de andre trekanter siderne:
   AP =  14277.43 toises
    PQ = 10676.90 toises
   CT = 24302.64 toises
   AC =  8659.94 toises

Den anden række der beregnes går gennem QN, NH, HK, KT, her bestemmes siderne på samme måde.

5. Beregning af længden af meridianen.

De to endestationer Torneå og Kittisvaara ligger ikke på samme meridian.
På figuren overfor er tegnet en linje QM som er meridianen gennem Kittisvaara (Q) med endepunkt M hvor meridianen skærer breddegraden gennem Torneå Kirke (T). For at beregne afstanden QM måles de vinkler som AC, AP, PQ og CT danner med meridianen MQ:

PQD = 610 8´ 8´´ APE = 84 33 54 ACF = 81 33 26 CTG = 69 49 8 Ved trigonometriske beregninger i trekanterne DQP, APE, ACE, CTG findes: PD =    9350.45 toises AE =  14213.24 toises  AF =   8566.08 toises CG =  22810.62 toises QM = 54940.39 toises Se udregningen af PD. Meridianen udregnes gennem to rækker af trekanter. Den anden række går som nævnt gennem QN, NH, HK, KT. På figuren ovenfor er vist at dN + Lg = QM Beregningen af dN + Lg giver 54944.76 toises.

Længden af meridianlinjen QM sættes lig med middeltallet af de to rækker ½ (54940.39 + 54944.76 ) = 54942.57 toises

6. Måling af forskellen i breddegrad mellem de to yderpunkter.

Det var ikke nok at måle længden af meridianlinjen QM.  Forskellen i breddegrad mellem de to yderpunkter Kittis og Torneå var ikke præcis en grad. Den nøjagtige forskel målte man med en Zenitsector efter en metode der stort set svarer til den Erasthostenes brugte i år 260 e.kr.:

Metoden går ud på at måle vinklen mellem zenit (lodret) og en fixstjerne, når den kulminerer i meridianen. Denne vinkel kaldes zenitafstanden. Når man måler denne vinkel to steder, vil forskellen mellem de to vinkler være lig med forskellen i breddegrad (se figuren overfor).  Man målte vinklen mellem Zenit (Z) og stjernen delta-Dragon (D) (zenitafstanden).  På figuren overfor er vinklerne DKZ og DTZ zenitafstanden til fixstjernen Dragon ved henholdsvis Kittis og Torneå.  Figuren illustrerer at forskellen i zenitafstand er lig med forskellen i breddegrad, som er lig med vinklen KCT, hvor C er jordens centrum.

Bemærk at man med denne metode ikke måler de to steders breddegrad, kun forskellen mellem dem.

Outhier skriver side 299: 

Vi valgte stjernen delta-Dragon som den bedst egnede stjerne for observation med sekstanten, den passerede tæt nok på zenit, på det mest passende tidspunkt, for igen at blive observeret ved Torneå.

Zenitsectoren bestod af et ni fod langt teleskop som er fastgjort til en jernstang, der kan drejes vertikalt med en skrue. I den øverste ende af jernstangen er fastgjort en lodsnor og i den anden ende en gradskala.  Når teleskopet drejes kan man aflæse vinklen mellem teleskopet og lodsnoren på gradskalaen. Teleskopet stilles så det kun kan dreje i medianens retning.  Teleskopet blev indstillet så det pegede tæt ved stjernens kulminationspunkt. Lodsnorens position over limben (gradskalaen) blev aflæst. Når stjernen dagen efter kom til syne blev micrometeret indstillet så lodsnorens små forskydninger blev aflæst før og efter at sjernen passerede trådkorset i teleskopet.

Zenitafstanden blev målt i Kittis og Torneå med så få dages mellemrum som muligt (4 oktober og 1 november).

Målingerne fremgår af La Figure de la terre, side 100:

Observationeraf stjernen delta-Dragon, ved Kittis :
Før observationen af stjernens meridianpassage blev lodlinjens hældning aflæst til 2⁰ 37´ 30´´.Før observationen aflæstes micrometeret til 24revol. 10.7 parties og efter 24 ^R  12.5 ^p
Middeltal af de to aflæsninger er 24^R 11.6^p
Stjernen 22^R 30.9^p det giver en difference på 1^R 24.7^p
(Revol. er omdrejninger på micrometeret og parties er dele af micrometeret på 44 per omdrejning, 20^R = 15´ ).
Samme målinger blev foretaget fire efterfølgende dage med en gennemsnitlig difference 1^R 25.8^p

Observationer af den samme stjerne ved Torneå:
Før observationen af stjernens meridianpassage blev lodlinjens hældning aflæst til 1⁰ 37´ 30´´.
Gennemsnitlig difference 1^R 40.6^p

Lodsnoren ved passagen ved    Kittis   2⁰ 37´ 30´´  - 1^R 25.8^p
og ved                                      Torneå 1⁰ 37´ 30´´  + 1^R 40.6^p

Det giver forskel i zenitdistance mellem Kittis og Torneå på  1⁰ 0´ 0´´ - 3^R 22.4^p
3^R 22.4^p er lig med 2´ 33.8´´ som skal trækkes fra 1⁰ 0´ 0´´ hvilket giver 0⁰ 57´ 26.2´´

Dette tal underkastes tre korrektioner:

Det giver alt i alt en forskel i breddegrad på                 0⁰ 57´ 26´´.90
De samme målinger med stjernen alfa-Dragon gav       0⁰ 57´ 30´´.35

Den endelige forskel i breddegrad mellem Kittis og Torneå blev fastsat som middeltallet af de 
to målinger  0⁰ 57´ 28´´.63

7. Bestemmelse af breddegraden ved Torneå.

I december 1736 målte man breddegraden ved Torneå, ved at måle Polarstjernens højde med en zenitsector.

Hvordan man bestemmer et punkts breddegrad. Polarstjernen befinder sig næsten i himmelkuglens Nordpol, dens bane danner en cirkel på ca. 20 .  Man kan derfor bestemme polhøjden fra et punkt på jordoverfladen ved at bestemme polarstjernens nedre og øvre kulmination. Middeltallet mellem de to vinkler er polhøjden x fra punktet. Punktets breddegrad b er lig med 900 - polhøjden.

                (La figure de la terre side 136-137)
                  Nedre kulmination 22⁰ 2´ 45´´
                Øvre kulmination   26⁰ 14´ 37´´
                                              48⁰ 17´ 22´´

Der giver middeltallet 24⁰ 8´ 41´´ som er differencen mellem Zenit ved Torneå og Nordpolen.
Den synlige polhøjde er komplementet af differencen  90 -24⁰ 8´ 41´´=  65⁰ 51´19´´ 

Dette tal skal korrigeres med refraktionen som blev beregnet til at være  0⁰  0´ 29´´ved Torneå .
Breddegraden ved Torneå er da  65⁰ 51´19´´ - 0⁰ 0´ 29´´ = 65⁰ 50´ 50´´.
I januar 1937 gentog man målingen af polhøjden, denne gang med en kvadrant. 
Målingerne gav at breddegraden var 65⁰ 50´ 51´´.

8. Den endelige beregning af længden af en breddegrad.

Efter at have målt længden af meridianen fra Kittisvaara til Torneå og forskellen i breddegrad mellem de to steder kunne man til slut beregne længden af en breddegrad:

          Længden af meridianen 54942.57 toises
          Meridianbuens gradtal 0⁰ 57´28´´.63.

Det giver at længden af en breddegrad ved polarcirklen er 57354.15 toises (= 111.783 km)
Sammenlignet med den længde man regner med i dag 111.498 km er den ca. 300 m for lang.